Limite De Filtragem De Média Móvel

Resposta de Freqüência do Filtro de Média Corrente A resposta de freqüência de um sistema LTI é a DTFT da resposta de impulso, A resposta de impulso de uma média móvel de L é de média móvel. Uma vez que o filtro de média móvel é FIR, a resposta de freqüência reduz-se à soma finita We Pode usar a identidade muito útil para escrever a resposta de freqüência como onde temos deixar ae menos jomega. N 0 e M L menos 1. Podemos estar interessados ​​na magnitude desta função para determinar quais freqüências passam pelo filtro sem atenuação e quais são atenuadas. Abaixo está um gráfico da magnitude desta função para L 4 (vermelho), 8 (verde) e 16 (azul). O eixo horizontal varia de zero a pi radianos por amostra. Observe que, em todos os três casos, a resposta de freqüência tem uma característica de passagem baixa. Uma componente constante (frequência zero) na entrada passa através do filtro sem ser atenuada. Determinadas frequências mais elevadas, tais como pi 2, são completamente eliminadas pelo filtro. No entanto, se a intenção era projetar um filtro lowpass, então não temos feito muito bem. Algumas das freqüências mais altas são atenuadas apenas por um fator de cerca de 110 (para a média móvel de 16 pontos) ou 13 (para a média móvel de quatro pontos). Podemos fazer muito melhor do que isso. O gráfico acima foi criado pelo seguinte código Matlab: omega 0: pi400: pi H4 (14) (1-exp (-iomega4)) (1-exp (-iomega)) H8 (18) (1-exp (- (1-exp (-iomega)) (1-exp (-iomega)) traço (omega, abs (H4) abs (H8) abs ( A média móvel exponencial (EMA) é um tipo de filtro de resposta ao impulso infinito (IIR) que pode Ser usado em muitas aplicações DSP incorporadas. Ele requer apenas uma pequena quantidade de RAM e poder de computação. O que é um Filtro Os filtros vêm em formas analógicas e digitais e existem para remover freqüências específicas de um sinal. Um filtro analógico comum é o filtro RC de baixa passagem mostrado abaixo. Os filtros analógicos são caracterizados pela sua resposta em frequência que é o quanto as frequências são atenuadas (resposta de magnitude) e deslocadas (resposta de fase). A resposta de frequência pode ser analisada utilizando uma transformada de Laplace que define uma função de transferência no domínio S. Para o circuito acima, a função de transferência é dada por: Para R igual a um quilo-ohm e C igual a um microfarad, a resposta de magnitude é mostrada abaixo. Observe que o eixo x é logarítmico (cada marca é 10 vezes maior do que a última). O eixo y é em decibéis (que é uma função logarítmica da saída). A frequência de corte para este filtro é de 1000 rads ou 160 Hz. Este é o ponto em que menos da metade da potência em uma dada freqüência é transferida da entrada para a saída do filtro. Filtros analógicos devem ser usados ​​em projetos incorporados ao amostragem de um sinal usando um conversor analógico-digital (ADC). O ADC apenas captura freqüências que são até a metade da freqüência de amostragem. Por exemplo, se o ADC adquire 320 amostras por segundo, o filtro acima (com uma frequência de corte de 160Hz) é colocado entre o sinal ea entrada ADC para evitar o aliasing (que é um fenômeno onde as freqüências mais altas aparecem no sinal amostrado como Frequências mais baixas). Filtros digitais Os filtros digitais atenuam as frequências do software em vez de utilizar componentes analógicos. Sua implementação inclui a amostragem dos sinais analógicos com um ADC, em seguida, aplicar um algoritmo de software. Duas abordagens de projeto comuns para a filtragem digital são filtros FIR e filtros IIR. Filtros FIR Os filtros de Resposta de Impulso Finito (FIR) utilizam um número finito de amostras para gerar a saída. Uma média móvel simples é um exemplo de um filtro FIR de passa baixa. Freqüências mais altas são atenuadas porque a média suaviza o sinal. O filtro é finito porque a saída do filtro é determinada por um número finito de amostras de entrada. Como um exemplo, um filtro de média móvel de 12 pontos adiciona as 12 amostras mais recentes e depois divide por 12. A saída de filtros IIR é determinada por (até) um número infinito de amostras de entrada. Filtros IIR Filtros de resposta de impulso infinito (IIR) são um tipo de filtro digital onde a saída é inifinetelyin teoria anywayinfluenced por uma entrada. A média móvel exponencial é um exemplo de um filtro IIR de passagem baixa. Filtro de média móvel exponencial Uma média móvel exponencial (EMA) aplica pesos exponenciais a cada amostra para calcular uma média. Embora isto pareça complicado, a equação conhecida na linguagem de filtragem digital como a equação de diferença para calcular a saída é simples. Na equação abaixo, y é a saída x é a entrada e alfa é uma constante que define a freqüência de corte. Para analisar como este filtro afeta a freqüência da saída, a função de transferência de domínio Z é usada. A resposta de magnitude é mostrada abaixo para alfa igual a 0,5. O eixo y é, novamente, mostrado em decibéis. O eixo x é logarítmico de 0,001 a pi. A freqüência do mundo real mapeia para o eixo x com zero sendo a tensão DC e pi sendo igual a metade da freqüência de amostragem. Quaisquer frequências que sejam maiores que a metade da freqüência de amostragem serão alias. Como mencionado, um filtro analógico pode garantir praticamente todas as freqüências no sinal digital estão abaixo da metade da freqüência de amostragem. O filtro EMA é benéfico em projetos incorporados por duas razões. Primeiro, é fácil ajustar a freqüência de corte. Diminuir o valor de alfa irá diminuir a frequência de corte do filtro, como ilustrado pela comparação do gráfico acima alfa 0,5 para o gráfico abaixo, onde alfa 0,1. Em segundo lugar, o EMA é fácil de codificar e requer apenas uma pequena quantidade de poder de computação e memória. A implementação de código do filtro usa a equação de diferença. Existem duas operações de multiplicação e uma operação de adição para cada saída, que ignora as operações necessárias para arredondar matemática de ponto fixo. Somente a amostra mais recente deve ser armazenada na RAM. Isto é substancialmente menor do que usando um filtro de média móvel simples com N pontos que requer N operações de multiplicação e adição bem como N amostras para serem armazenadas na RAM. O código a seguir implementa o filtro EMA usando matemática de ponto fixo de 32 bits. O código abaixo é um exemplo de como usar a função acima. Conclusão Filtros, tanto analógicos e digitais, são uma parte essencial dos projetos incorporados. Eles permitem que os desenvolvedores se livrar de freqüências indesejadas ao analisar a entrada do sensor. Para que os filtros digitais sejam úteis, os filtros analógicos devem remover todas as freqüências acima da metade da freqüência de amostragem. Digital IIR filtros podem ser ferramentas poderosas em design incorporado, onde os recursos são limitados. A média móvel exponencial (EMA) é um exemplo de tal filtro que funciona bem em projetos incorporados por causa da baixa memória e requisitos de energia de computação. Preciso projetar um filtro de média móvel que tem uma freqüência de corte de 7,8 Hz. Eu usei filtros de média móvel antes, mas até onde eu estou ciente, o único parâmetro que pode ser alimentado é o número de pontos a serem calculados. Como isso pode se relacionar com uma freqüência de corte O inverso de 7,8 Hz é de 130 ms, e Im trabalhando com dados que são amostrados a 1000 Hz. Isso implica que eu deveria estar usando um tamanho de janela de filtro média móvel de 130 amostras, ou há algo mais que estou faltando aqui pediu Jul 18 13 at 9:52 O filtro de média móvel é o filtro usado no domínio do tempo para remover O ruído adicionado e também para o propósito de suavização, mas se você usar o mesmo filtro de média móvel no domínio da freqüência para a separação de freqüência, o desempenho será pior. Então, nesse caso, use filtros de domínio de freqüência O filtro de média móvel (por vezes conhecido coloquialmente como um filtro de caixa) tem uma resposta de impulso retangular: Ou, declarado de forma diferente: Lembrando que uma resposta em freqüência de sistemas de tempo discreto É igual à transformada de Fourier de tempo discreto da sua resposta de impulso, podemos calculá-la da seguinte forma: O que mais interessou para o seu caso é a resposta de magnitude do filtro, H (ômega). Usando algumas manipulações simples, podemos obter isso em uma forma mais fácil de compreender: Isso pode não parecer mais fácil de entender. No entanto, devido à identidade Eulers. Lembre-se que: Portanto, podemos escrever o acima como: Como eu disse antes, o que você está realmente preocupado com a magnitude da resposta de freqüência. Assim, podemos tomar a magnitude do acima para simplificá-lo ainda mais: Nota: Nós somos capazes de soltar os termos exponenciais, porque eles não afetam a magnitude do resultado e 1 para todos os valores de ômega. Como xy xy para quaisquer dois números finitos x e y, podemos concluir que a presença dos termos exponenciais não afeta a resposta da magnitude global (em vez disso, eles afetam a resposta da fase do sistema). A função resultante dentro dos parênteses de magnitude é uma forma de um kernel de Dirichlet. É chamado às vezes uma função periódica de sinc, porque se assemelha à função do sinc um tanto na aparência, mas é periódica preferivelmente. De qualquer forma, uma vez que a definição de freqüência de corte é um pouco underspecified (-3 dB ponto -6 dB ponto primeiro sidelobe nulo), você pode usar a equação acima para resolver o que você precisa. Especificamente, você pode fazer o seguinte: Definir H (omega) para o valor correspondente à resposta do filtro que você deseja na freqüência de corte. Defina ômega igual à freqüência de corte. Para mapear uma freqüência de tempo contínuo para o domínio de tempo discreto, lembre-se que omega 2pi frac, onde fs é sua taxa de amostragem. Encontre o valor de N que lhe dá o melhor acordo entre os lados esquerdo e direito da equação. Isso deve ser o comprimento de sua média móvel. Se N é o comprimento da média móvel, então uma frequência de corte aproximada F (válida para N gt 2) na frequência normalizada Fffs é: O inverso disso é Esta fórmula é assintoticamente correta para N grande e tem cerca de 2 erro Para N2, e menos de 0,5 para N4. P. S. Depois de dois anos, aqui finalmente qual foi a abordagem seguida. O resultado foi baseado na aproximação do espectro de amplitude da MA em torno de f0 como uma parábola (série de 2ª ordem) de acordo com MA (Omega) aproximadamente 1 (frac-fra) Omega2 que pode ser feita mais exata perto do cruzamento zero de MA (Omega) Frac por multiplicação de Omega por um coeficiente de obtenção de MA (Omega) aprox. 10.907523 (frac - frac) Omega2 A solução de MA (Omega) - frac 0 dá os resultados acima, onde 2pi F Omega. Tudo o que acima se refere à freqüência de corte -3dB, o sujeito deste post. Às vezes, porém, é interessante obter um perfil de atenuação em banda de parada que é comparável ao de um filtro passa-baixo IIR de 1ª ordem (LPF de um pólo) com uma determinada freqüência de corte -3dB (tal LPF é também chamado integrador com vazamento, Tendo um pólo não exatamente em DC, mas próximo a ele). De facto, tanto a MA como a Ia ordem IIR LPF têm uma inclinação de 20dBdecade na banda de paragem (é necessário um N maior do que o utilizado na figura, N32, para ver isto), mas enquanto MA tem nulos espectricos em FkN e um 1f evelope, o filtro IIR só tem um perfil 1f. Se se deseja obter um filtro MA com capacidades semelhantes de filtragem de ruído como este filtro IIR, e corresponder às frequências de corte 3dB para ser o mesmo, ao comparar os dois espectros, ele perceberá que a ondulação da banda de parada do filtro MA acaba 3dB abaixo do filtro IIR. Para obter a mesma ondulação de banda de parada (ou seja, a mesma atenuação de potência de ruído) como o filtro IIR as fórmulas podem ser modificadas da seguinte forma: Eu encontrei de volta o script Mathematica onde eu calculou o corte para vários filtros, incluindo o MA. O resultado foi baseado na aproximação do espectro MA em torno de f0 como uma parábola de acordo com MA (Omega) Sin (OmegaN2) Sin (Omega2) Omega 2piF MA (F) aproximadamente N16F2 (N-N3) pi2. E derivando o cruzamento com 1sqrt de lá. Ndash Massimo Jan 17 16 em 2:08